组合算法 C++高效实现 (二进制辅助法)


1.什么是数学中的组合？

和排列不同的是，在组合中取出元素的顺序则不在考虑之中。从个元素中取出个元素，这个元素可能出现的组合数的总数量为：

以1,2,3,4,5中选2个数为例，总共的组合为：

1,2

1,3

1,4

1,5

2,3

2,4

2,5

3,4

3,5

4,5

2.在计算机中如何高效的实现排列算法？

乍一看，这个问题并不简单。有递归的实现方式，效率较低，还比较难，先不考虑。我们注意到一种以二进制的思想的实现方式，比较高效，来讲讲它。

首先还是需要讲下上次的排列算法中比较高效的实现方式（），就是把1,2,3的全排列，换算成求一个三位数，由1,2,3组成，从小到大所有的可能性。

123 < 132 < 213 < 231 < 312 < 321

我们还是以1,2,3,4,5中选2个数为例。

我们这次的排列非常的像，我们用一个五个数的数组表示一个5位数的二进制数字，(其中1表示选中该数字，0则不是)这样用一个二进制数来表示一个排列。如果这个二进制遍历所有的可能性(0~31)，且只有两个1组成的话，就是一个我们想要的排列结果。这里我们换成十进制从左往右换算，发现刚好是从小到大。

1,2 (1,1,0,0,0) -- 3(十进制)


1,3 (1,0,1,0,0) -- 5

2,3 (0,1,1,0,0) -- 6

1,4 (1,0,0,1,0) -- 9

2,4 (0,1,0,1,0) -- 10

3,4 (0,0,1,1,0) -- 12

1,5 (1,0,0,0,1) -- 17

2,5 (0,1,0,0,1) -- 18

3,5 (0,0,1,0,1) -- 20

4,5 (0,0,0,1,1) -- 24

如何用代码实现呢？

需要用以下策略：

1.m 选 n， 初始化m个数，它们都是0，前n个都变成1，表示最小的二进制。

2.如何找到下一个较大的数呢？因为我们这里的二进制是从左往右，所以，当发现一个1,0时，我们把它改成0,1的时候，这个数就变大了！

3.根据策略2的话(0,1,1,0,0)--6下一个二进制数应该是(0,1,0,1,0)--10，但是比(0,1,1,0,0)要大的下一个数应该是(1,0,0,1,0)--9。所以

我们要把1,0换成0,1的时候，还要把0,1中0的前面所有1都移到最前面，这样才是最小的数，大家理解下这句。因为我们的二进制是从左往右的。

代码如下，非常简短。

// MyCombination.cpp : Defines the entry point for the console application.
//

#include "stdafx.h"
#include <iostream>
#include <vector>
#include <algorithm>

using namespace std;


void printResult(vector<int>& vecInt, int t[]){
 for(int i = 0; i < vecInt.size(); ++i){
  if(vecInt[i] == 1){
   cout << t[i] << " ";
  }
 }
 cout << endl;
}

bool compare(int a, int b){
 if(a > b){
  return true;
 }else{
  return false;
 }
}

void combination(int t[], int c, int total){
 //initial first combination like:1,1,0,0,0
 vector<int> vecInt(total,0);
 for(int i = 0; i < c; ++i){
  vecInt[i] = 1;
 }

 printResult(vecInt, t);

 for(int i = 0; i < total - 1; ++i){
  if(vecInt[i] == 1 && vecInt[i+1] == 0){
   //1. first exchange 1 and 0 to 0 1
   swap(vecInt[i], vecInt[i+1]);

   //2.move all 1 before vecInt[i] to left
   sort(vecInt.begin(),vecInt.begin() + i, compare);

   //after step 1 and 2, a new combination is exist
   printResult(vecInt, t);

   //try do step 1 and 2 from front
   i = -1;
  }
 }
 
}


int _tmain(int argc, _TCHAR* argv[])
{
 const int N = 5;
 int t[N] = {1, 2, 3, 4, 5};
 combination(t, 2, N);
 system("pause");
 return 0;
}

3.如何求所有的组合呢？

如果你理解了上面的东西，我们再来思考一个简单的问题，如何求1,2,3 的所有组合结果：

别害怕，这个问题比上面的还要简单，也是二进制的思想，我们用一个3位的二进制来表示一个结果，刚好是从0~7

{}        000

1        001

2        010

1,2    011

3        100

2,3    110

1,2,3  111

 


代码如下(位运算不懂的话，看这篇文章《来谈谈C++ 位运算 & | << >> ^ ~ %》)：

// MyCombination.cpp : Defines the entry point for the console application.
//

#include "stdafx.h"
#include <iostream>
#include <vector>
#include <algorithm>

using namespace std;


void printEachResult(int t[], int index, int total){

 for(int i = 0; i < total; ++i){
  if((index>>i)&1 == 1){
   cout << t[i] << " ";
  }
 }
 cout << endl;
}

void combination(int t[],int count){
 for(int i = 0; i < (1<<count); ++i){
  printEachResult(t, i, count);
 }
}


int _tmain(int argc, _TCHAR* argv[])
{
 const int N = 3;
 int t[N] = {1, 2, 3};
 combination(t,N);
 system("pause");
 return 0;
}

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