泰勒级数+牛顿迭代公式+最简单的C语言求根号的值
泰勒级数+牛顿迭代公式+最简单的C语言求根号的值
无意间看见一哥们讨论Tecent的两道面试题,其中一道题目就是求根号2的值,并且保留指点的小数位。我想我一定是不能进Tecent了,并且我一定是一个数学小白,不,就是一个小白。查了一些资料。mark一下先...
泰勒级数
泰勒级数的冥级数如下所示:
取前面两项等于0得:f(a) + f'(a)(x-a) = 0;
化简后得:x = a - f(a)/f'(a);
其中a为自变量的取值,x为a的一个近视解,使用x0代替a,x1代替x,则上式可表示为:x1 = x0 - f(x0)/f'(x0);
牛顿迭代公式
牛顿迭代法结论其实就是取泰勒级数前两项等于0求得的,为:x(n+1) = x(n) - f(x(n))/f'(x(n));
思路如下:
假设有一条曲线C,在曲线上面任选一点x0 = 1, 求的曲线的值为f(1), 即(1, f(1))为曲线上得一点。过点(1, f(1)), 作一条曲线C的切线,切线与X轴相交于点x1。同理使用x1求得x2、x3、x4......。所求得的一些列与X轴相交的点位曲线与X轴相交点得近视值。如设定某一误差e,当x(n+1)-x(n) < e,则可认为x(n+1)是曲线的一个近视解。因为x(n+1)作为曲线的解误差为可以接受的e。
其实,对于某个点,相对于曲线的切线方程是确定的,即为:f(x0) = f'(x0)(x - x0), 其中f'(x0)为切线的斜率。化简即为x1 = x0 - f(x0)/f'(x0);和泰勒级数中求得的公式不谋而合。由此可得牛顿迭代公式为:x(n+1) = x(n) - f(x(n))/f'(x(n));
最简单的C语言求根号2
采用上述方法求得了曲线的近视解,如要求根号2,可假设f(x) = x^2 - 2 = 0;即曲线x^2 -2 = 0的解即为根号2的值,通过控制误差的大小,即可求得根号2的保留小数点位数的取值。如要取得小数点为8为的根号2的值,可取误差e=0.00000001, 即误差为10的负8次方。取根号2小数点保留10位的最简单C代码如下:
- #include <stdio.h>
- int main() {
运行结果如下:
- # ./a.out
- 1.0000000000, 1.5000000000
- 1.5000000000, 1.4166666269
- 1.4166666269, 1.4142156839
- 1.4142156839, 1.4142135382
btw,根号2的值也就是方程x^2 - 2 = 0的解。而以上输出中第2列均为方程的解,只是精度不同而已。而精度的控制就靠diff和0.0000000001控制了。当然,代码写得很sb,并且条件全都写死在代码里面,旨在用最简单的代码讲清楚怎样使用牛顿迭代法求根号的值。
另外,大家别喷我,上述代码肯定不是最简单的,只是想要表达比较简洁,希望能够更清楚的看出牛顿迭代法的使用。
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