找出集合S最接近中位数的k(k≤n)个数


相关问题：

给出一个O(n)时间的算法，在给定一个有n个不同数字的集合S以及一个正整数k≤n后，它能确定出S中最接近其中位数的k个数.

思考过程：

如果给出在线性时间内的算法，那么可能要用到最坏为线性时间的查找第i小元素的子程序SELECT。我们先找到这n个数的中位数，然后以此中位数为中心，左边距离中位数k/2个远的位置是这k个数的左端点，右边距离中位数k/2个远的位置是这k个数的右端点。用SELECT函数找到这三个数（中位数，左边距离中位数k/2的数，右边距离中位数k/2的数）就可以确定最接近其中位数的k个数.。

PS：在网上这个问题没有用到这种方法。所以这种方法的正确性有待各位大牛来验证。如果有错误，请各位大牛留言指正哦。谢谢啦！

具体步骤：

step 1：用SELECT函数找到中位数，找到的同时也对数组进行了划分（step123都是根据《算法导论》9.3-4题目的结论，有兴趣可以看这篇博文），小于中位数的在左边，大于的在右边。

step 2：用SELECT函数找到左边距离中位数k/2的数，(注意不要对整个数组进行SELECT函数查找，要对中位数左半区域进行SELECT函数查找。)

step 3：按照step2方法对中位数的右半区进行查找。

以上三步都是通过SELECT函数来对数组划分使其最接近中位数的k个数聚集在中位数附近。并且每次调用SELECT函数只需要线性时间O(n)，所以总的过程也只需要线性时间。

//显示中位数附近k个数。
#include <iostream>
#include <time.h>
using namespace std;
const n=24;
//创建一个装有数组A以每5个元素为1组共n/5组，每组的中位数放入到数组B中，组成一组含有n/5个中位数的数组B
int Find(int A[n],int p,int r);//递归当前数组A中从p到r个元素，以找到辅助中位数数组B的中位数。
int PARTITION(int A[],int p,int r,int t)//t代表中位数数组B中的中位数，这里t代表为主元。
{
    int i=p-1,k=0;
    for (int j=p;j<=r;j++)
    {
        if (A[j]<t)//将比主元t大的元素交换到数组A的右边去，比主元t小的到数组A的左边。
        {
            i++;
            swap(A[i],A[j]);
        }
        if (A[j]==t)//如果A[j]等于主元
        {
            k=j;//那么记录下主元在A中的位置。
        }
    }
    swap(A[i+1],A[k]);//完成划分操作，主元左边的元素都小于主元，主元右边的元素都大于主元。
    return i+1;
}
int SELECT(int A[],int p,int r,int i)//i表示第i小的数。
{
    if (p>=r)
    {
        return A[p];
    }
    int t=Find(A,p,r);//返回的t代表辅助数组B的中位数。    
    int q=PARTITION(A,p,r,t);
    int k=q-p+1;
    if (i==k)
    {
        return A[q];
    }
    else if(i<k)
    {
        return SELECT(A,p,q-1,i);
    }
    else return SELECT(A,q+1,r,i-k);
}
int Find(int A[n],int p,int r)
{    
    int key=0,t=0,m=r-p+1,h=0;
    if (m%5==0)//如果当前数组A的大小能被5整除，那么这以5个元素为一组的m/5组数，没有余数那一组
    {
        h=m/5;
    }
    else//否则，应该加上含有余数的那一组。
    {
        h=m/5+1;
     }
    int *B=new int[h];
    for(int j=0;j<h;j++)
    {
        B[j]=0;
    }
    for (int k=0;k<h;k++)//5个数一组，共h组。进行插入排序。
    {//经过最多h=n/5+1次循环，那么总共循环了25h=25(n/5+1)=5n+25=O(n)次
        for (int j=t+1+p;j<=5+t+p&&j!=r+2;j++)//h组中每组进行插入排序。注意加上数组初始坐标p(当前数组A的初值坐标)+t(在p基础上每5个为1组)
        {//运行时间分析：5个一组运行插入排序，每次插入排序需要的时间是O(n^2)=5^2=25是基于固定划分的固定常数
            key=A[j-1];
            int i=j-1;
            while (i>t+p&&A[i-1]<key)
            {
                A[i]=A[i-1];
                i=i-1;
            }
            A[i]=key;
        }
        t+=5;//进入下一个5个元素为一组的插入排序
    }
    k=0;
    for (int i=0;i<h&&k<h;i++)//经过最多h=n/5+1次循环(O(n))，将当前数组A中的每组的中位数依次放入到B中
    {
        if (i<h-1)
        {
            B[k]=A[2+5*i+p];
            k++;
            continue;
        }
        if(m%5!=0)
        {
            B[k]=A[5*i+p+(m%5)/2];
        }
        else 
        {
            B[k]=A[2+5*i+p];
            k++;
        }
    }
    if (h==1)
    {
       return B[0];//当辅助数组B只剩下一个数时，那么这个数就是中位数的中位数。
    }
    else
    {
       return SELECT(B,0,h-1,(h-1)/2+1);//如果数组B元素个数是偶数，那么取数组B中的较小值。
    }
}
void Close_median_number_of_k(int A[],int p,int r,int k)//接近中位数的k个数
{
     int i=(p+r+2)/2;
     SELECT(A,p,r,i);//找到当前数组从p到r的中位数。
     SELECT(A,p,i-1,i-k/2);//找到当前数组从p到i-1的第i-k/2个数。
     SELECT(A,i,r,k/2);//找到当前数组从i到r的第k/2个数。
}
void Print(int A[],int start,int end)
{
    for (int i=start;i<end;i++)
    {
         cout<<A[i]<<" ";
    }
    cout<<endl;
}
void main()
{
    int A[n]={0};
    //随机输入数组
    srand( (unsigned)time( NULL ) );
    cout<<"随机数组初始化。。。"<<endl;
    for (int i=0;i<n;i++)
    {
        A[i]=rand()%100;
        cout<<A[i]<<"\t";
    }
    cout<<endl;
    int k;
    cout<<"请输入需要查找的中位数附近多少个数？"<<endl;
    cin>>k;
    Close_median_number_of_k(A,0,n-1,k);
    int h=(n-1)/2-k/2;//h代表中位数附近的k个数的第一个值的下标。
    if (k%2==0)
    {
        h=h+1;//如果k为偶数，那么对初值做微调使其更接近中位数附近的k个数
    }
    cout<<"数组中位数附近的"<<k<<"个数"<<endl;
    Print(A,h,h+k);//打印这k个数。
}


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