机器学习数学基础- gradient descent算法（下），gradientdescent

Gradient Descent算法

续上文。
gradient descent的用途：

可以用于求解一个函数f(x1,x2,......xn)的local 最小值。

关于local最小值：

一个函数可能有多个local最小值，所谓local最小值是当给定（x1,x2,......xn）的某一个实例，如果在该实例的无限小的附近的任何一个实例的f值都大于该实例的f值，那么该实例所对应的就是f的一个local最小值。

gradient descent算法求解local最小值的方法如下：

任意给定（x1,x2,......xn）的一个实例，简写为x∗，那么将x∗朝着∇f(x∗)（注：是一个n维向量）的反向方向移动一个足够小的值，得到x∗−r∇f(x∗)，其中r是一个足够小的数值，会使得f(x∗−r∇f(x∗))的值比f(x∗)一定会更小。通过这种方法不断的迭代计算新的x的值，最终能得到local的最小值。

如果回想函数的gradient的定义，就能自然的理解gradient descent算法：

gradient反映的是因变量对自变量的变化的敏感性以及正负相关性，这里我们利用的是正负相关性，也就是说当∇f(x∗)为正时，说明当x从x∗向负向移动一个足够小的值时，f的值会减小；并且，当∇f(x∗)为负时，说明当x从x∗向正向移动一个足够小的值时，f的值会减小。因此，只要将x从x∗朝着∇f(x∗)的反向方向移动一个足够小的值，就会导致f值减小。

如果还不能理解这段话，说明应该回过头去再好好理解下gradient的基本概念了。

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